现代解析
这副寿联是祝贺张百熙60岁生日的，用简洁有力的语言赞美了他的品德和成就。
上联"推诚内相关元气"意思是：张百熙待人真诚，在朝廷内部能调和各方关系（"推诚"指以诚相待，"相关"指协调关系），就像滋养万物的元气一样重要。这里把他比作维持朝廷运转的重要力量。
下联"守正司农见老成"说的是：他担任司农（掌管财政的官职）时坚持原则（"守正"），展现出成熟稳重的处事风格（"老成"）。这是在表扬他为官正直、经验丰富。
整体来看，对联通过"推诚"和"守正"两个关键词，突出了寿星张百熙的两个重要品质：待人真诚和为官正直。用"元气"和"老成"这样的比喻，既显得庄重又不失亲切，非常符合祝寿的场合。对联对仗工整，前句讲为人，后句讲为官，完整地概括了寿星的优秀品格。