现代解析
这首对联是民国时期为袁世凯就任正式大总统而作的，用简单直白的语言表达了当时人们对袁世凯的推崇和对共和制度的拥护。
上联"国初定时推袁，国大定时推袁，总统万岁"： - 前两句用重复强调的手法，说无论是国家初创时期还是国家稳定时期，大家都推举袁世凯当领袖。这里的"推袁"既指推举袁世凯，也暗含"推崇袁世凯"的意思。 - 最后一句"总统万岁"是当时对领导人的常见祝福语，表达了对袁世凯的支持。
下联"日出处无天子，日入处无天子，共和一家"： - "日出处"指东方，"日入处"指西方，意思是无论东西方，都不再有皇帝（天子）了。 - "共和一家"点明主旨：中国现在实行共和制度，全国人民都是一家人。
这幅对联的巧妙之处在于： 1. 用重复句式加强语气，朗朗上口 2. 通过东西方对比，突出共和制度的进步性 3. 把袁世凯的名字"袁"巧妙融入对联中 4. 表达了当时人们对结束帝制、实现共和的喜悦之情
整体来看，这是一首典型的应景之作，既歌颂了领导人，又宣扬了共和理念，反映了民国初年人们对新制度的期待。